السرعة, المسافة, الزمن

Speed, Distance, and Time

اختبر معلوماتك (3):

في اختبار معلوماتك (2), كان هناك سيارتين تتسابقان السيارة الصفراء قطعت مسافة السباق الكلية (ف) بسرعة ثابتة (ع), السيارة الحمراء قطعت نصف المسافة (ف/2) بنصف السرعة (ع/2), وللحاق بالسيارة الصفراء قطعت السيارة الحمراء النصف الاخر من السباق بضعف السرعة (2ع).

وكانت نتيجة السباق (2) ان السيارة الصفراء فازت بالسباق وكانت المسافة التي قطعتها السيارة الحمراء خلال فترة السباق هي نصف المسافة فقط (ف/2).

والأن سباق التحدي (3), في هذا السباق ظل المتسابق بالسيارة الصفراء بنفس السرعة السابقة (ع). وغير المتسابق بالسيارة الحمراء خطته في السباق فقام بعكس الخطة السابقة فقطع نصف السباق الأول بسرعة ضعف السيارة الصفراء (2ع), ثم قطع نصف السباق الثاني بنصف سرعة السيارة الصفراء (ع/2).

هل نجح هذه المرة في تغيير نتيجة السباق أم النتيجة ظلت كما هي؟

يا ترى من فاز بذلك السباق تلك المرة:

1- السيارة الصفراء؟

2- السيارة الحمراء؟

3- أم بالطبع سيصلها الاثنين معا في نفس الوقت؟

هل: هذا الأن كافي للتغلب على السيارة الصفراء؟ أم ان السيارتين سيعبران خط النهاية في نفس الوقت؟ البعض يعتقد أن سائق السيارة الحمراء قد أخطئ خطا فادح هذه المرة أيضا ولن يتمكن من التفوق على السيارة الصفراء في هذه الحالة, ولم تكن تلك فكرة صائبة.

يا ترى من سيصل إلى خط النهاية أولا؟

V

V

V

V

V

هل فكرت؟ ............هل قمت بالحسابات, هل وصلت إلى نتيجة؟...................... اي الاحتمالات تعتقد أنه صح 1 , 2 , أم 3 ؟

V

V

V

كما في الحالة السابقة: للوصول إلى حل لهذا السؤال (الاجابة تعتمد على الزمن, ن), زمن وصول السيارات إلى خط البداية, ثم مقارنة الزمنين,

في حالة تساوي الزمن "ن₁ = ن₂" (السيارتين تصلان خط النهاية معا), وفي حالة اختلاف الزمن فإن السيارة التي لها زمن اصغر تصل أولا والعكس صحيح.

V

V

الزمن (المسافة الكلية) = المسافة / السرعة

زمن السيارة الصفراء (ن₁) = (ف/ ع) كم/ (كم/ساعة) = (ف/ ع) ساعة

زمن السيارة الحمراء (ن₂) = زمن نصف المسافة الأولى + زمن نصف المسافة الثانية

                      ن₂    = (ف/2)/ (2ع) + (ف/2)/ (ع/2)

                      ن₂    =  ف/ع + ف/ (4ع) = 4 ف/4ع + ف/4ع= 5ف/4ع = 1.25 (ف/ع) ساعة

أي ان 1.25 (ف/ع) > 1 (ف/ع), زمن قطع السباق للسيارة الحمراء ن₂ اكبر من زمن قطع السباق للسيارة الصفراء ن₁.

* المسافة (ف) كم, السرعة (ع) كم/ ساعة, والزمن (ن) ساعة

حيث أن زمن وصول السيارة الصفراء ن₁ اصغر من زمن وصول السيارة الحمراء ن₂ (ن₁ < ن₂)

السيارة الصفراء ستصل اولا, السيارة الحمراء ستصل في زمن مرة وربع (1.25) من زمن وصول السيارة الصفراء (لأي مسافة ف, ولأي سرعة ع). نفس نتيجة السباق رقم (2) وهو ما كان متوقع, ...... اليس كذلك؟

وخسر سائق السيارة الحمراء السباق مرة اخرى.

V

V

V

V

سؤال أخر (أ): ماهي المسافة التي ستتعدى عندها السيارة الصفراء السيارة الحمراء, نسبة من المسافة الكلية (ف)؟

نفترض ان السيارة الصفراء ستتعدى السيارة الحمراء عن نقطة على بعد (س) من خط البداية. وعليه سيكون زمن وصول السيارة الصفراء لتلك النقطة (نقطة التعدي) ن₁ هو نفس زمن وصول السيارة الحمراء لتلك النقطة ن₂.

ن₁ = المسافة/ السرعة = س/ع ..............................(1)

ن₂ = المسافة/ السرعة = (ف/2) / (2ع) + [س- (ف/2)] / (ع/2) = ف/4ع + (2س- ف)/ع = ف/ 4ع + 4 (2 س – ف) / 4ع = (ف + 8 س – 4 ف)/ 4ع = (8 س- 3 ف)/ 4ع .................(2)

بمساوة الزمنين ن₁ = ن₂

س/ع = (8 س – 3 ف) /4ع

4 س/ 4ع = (8 س – 3 ف)/ 4ع

4 س = 8 س – 3 ف

3 ف = 8 س – 4 س = 4 س

س = ¾ ف

أي ان السيارة الصفراء ستتعدى السيارة الحمراء عند ¾ مسافة السباق.

يبدو أنه صحيح ولكن هل انت متأكد؟

V

V

للتأكد سنعوض بالمسافة (س) في معادلة (1‘) ومعادلة (2‘) يجب أن تكون النتيجة واحدة.

ن₁ = ¾ ف /ع = (¾ ف)/ ع ..................(1^‘)

ن₂ = (8 س- 3 ف) / 4 ع = (8 × ¾ ف – 3 ف)/ 4 ع = (6 ف – 3 ف)/ 4 ع = (¾ ف)/ ع .....................(2^‘)

اعتقد ان الإجابة صحيحة (ستتعدى السيارة الصفراء السيارة الحمراء عند ¾ مسافة السباق). السيارة الحمراء ظلت متصدرة السباق حتى ¾ مسافة السباق.

V

V

سؤال اخر (ب)؛ ماذا يجب ان تكون عليه أقل سرعة للسيارة الحمراء خلال النصف الثاني من السباق حتى لا تتغلب عليها السيارة الصفراء؟ (التعادل على الأقل)

هنا نفترض ان سرعة السيارة الحمراء خلال النصف الثاني من السباق تساوي [ص (ع)], حيث ص نسبة عددية

ويكون الزمن اللازم لوصول السيارتين هو ن = ن₁ = ن₂

V

V

ن₁ = ف/ع ............................... (1")

ن₂ = (ف/2)/ 2ع + (ف/2)/(ص ع) = ف/ 4 ع + ف/ (2ص ع) .....................(2")

بمساوة ن₁ مع ن₂

ف/ع = ف/4 ع + ف/ (2 ص ع)

ف/ع – ف/ 4 ع = ف/ (2ص ع)

3 ف/ 4 ع = ف/ (2 ص ع)

4ع / 3 ف = (2ص ع)/ ف

4/ 3 = 2 ص

ص = 2/3 (ثلثي)

النتيجة أن السيارة الحمراء خلال النصف الثاني من السباق يجب أن لا تقل سرعتها عن (ثلثي ع) حتى لا تخسر السباق (التعادل).

V

V

للتأكد ومعرفة زمن وصول السيارتين لخط النهاية معا:

ن₁ = ف/ ع

ن₂ = ف/ 4 ع + ف / (2 × 2/3 ع) = ف/ 4 ع + ف/ (4/3) ع = ف/ 4 ع + 3 ف/ 4 ع = 4 ف / 4 ع = ف/ ع

وهو ما يؤكد صحة الحسابات.

* لتكسب السيارة الحمراء السباق يجب أن تتعدي سرعتها في النصف الثاني من السباق أي مقدار ضئيل عن ثلثي سرعة السيارة الصفراء ( 2/3 ع) لتكسب السباق.

أخيرا كسبت السيارة الحمراء السباق........................................