السرعة (4) - ملحق
Velocity (Appendix)

عجلة سقوط الجسم في حالة وجود مقاومة الهواء:

عند سقوط جسم في وجود الهواء فإن عجلة سقوط الجسم في لحظة بداية السقوط تكون مساوية لعجلة الجاذبية الأرضية ثم تقل مع مرور زمن السقوط حتى تصل إلى الصفر (في حالة مسافة السقوط تسمح لعجلة الجسم للوصول إلى الصفر). وتكون معادلة القوة المؤثرة على الجسم كالتالي:

مجموع القوى المؤثرة على الجسم = قوة القصور الذاتي
F = m aΣ

لحظة بداية السقوط:
F = m aΣ
w = m a
m g = m a
g = a

استمرار السقوط:
F = m aΣ
w – AR = m a

وحيث أن: الوزن = الكتلة × عجلة الجاذبية الأرضية (w = m g) فتكون المعادلة:

m g – AR = m a

 g – (AR/m) = a

الوصول للسرعة القصوى للسقوط (مقاومة الهواء = وزن الجسم):
F = m aΣ
w – AR = m a
0 = m a
0 = a

عند السرعة القصوى للسقوط تتساوي g مع AR تصبح العجلة تساوي صفر.

السرعة القصوى للسقوط والتي عندها عجلة الجسم تساوي صفر:

g – (AR/m) = 0

حيث أن مقاومة الهواء تساوي:

AR = ½ ρ A C_d v²

فتصبح المعادلة:

g - (1/2 ρ A C_d V²_termianl / m ) = 0

وتكون:

حيث:
m = كتلة الجسم (kg)
a = عجلة سقوط الجسم (m/s²)
g = عجلة الجاذبية الأرضية (9.81 m/s²)
AR = مقاومة الهواء (N)
ρ = كثافة الهواء (kg/m³)
A = مساحة الجسم المواجه للهواء (m²)
C_d = معامل مقاومة الهواء  
v = سرعة هبوط  (سقوط) الجسم (m/s)
v_terminal = سرعة السقوط القصوى (m/s)

1- بداية سقوط الجسم: سرعة الجسم = صفر (مقاومة الهواء = صفر) عجلة الجسم = عجلة الجاذبية  الارضية 2- زيادة سرعة الجسم أدت إلى زيادة مقاومة الهواء. مع زيادة مقاومة الهواء قلت عجلة الجسم. 3- استمرار زيادة سرعة الجسم وزيادة مقاومة الهواء. مع استمرار زيادة مقاومة الهواء تتضاءل عجلة الجسم. 4- وصول سرعة الجسم  إلى السرعة القصوى للسقوط, والتي عندها مقاومة الهواء تساوي وزن الجسم, وتكون عجلة الجسم تساوي صفر. استمرار حركة الجسم بسرعة ثابتة تساوي السرعة القصوى للسقوط (عندها تكون العجلة تساوي صفر, وتكون سرعة الجسم ثابتة) حتى الانتهاء من السقوط.

حيث أن مقاومة الهواء تزيد مع السرعة, فإن ذلك سوف يؤدي إلى أن عجلة الجسم أثناء السقوط سوف تقل مع زيادة مسافة وزمن السقوط. حيث أن قيمة عجلة الجسم أثناء السقوط تبدأ بقيمة تساوي g  في بداية السقوط (عندها السرعة = 0) وتقل قيمة العجلة مع استمرار السقوط وزيادة السرعة وزيادة مقاومة الهواء, وتستمر قيمة العجلة في الانخفاض حتى تصل إلى 0 (عندها السرعة = سرعة السقوط القصوى) وذلك بناء على مسافة السقوط وشكل الجسم وأبعاده. ثم يستمر سقوط الجسم بعد ذلك بسرعة ثابتة (السرعة القصوى للسقوط).

حالة التسارع في حالة وجود الهواء:
يختلف التسارع مع اختلاف (الكتلة m, والمساحة A, ومعامل مقاومة الهواء C_d). هذا يعني أن الجسم الذي تقل نسبة m/(C_d A) عن الجسم الأخر يصل إلى سرعة الهبوط القصوى اسرع من الجسم الثاني وبذلك عند الوصول إلى تلك السرعة يستمر الجسم ذو النسبة الأقل بالهبوط بسرعة منتظمة بينما يظل الجسم الأخر بالتسارع مما يعني هبوط الجسم ذو النسبة m/(C_d A) الأعلى أسرع من الجسم الأخر.

حالة سقوط ريشة وفيل: نفترض سقوط فيل وريشة من مبنى مرتفع, من نفس الارتفاع وفي نفس الوقت. وخلال الحالة الفعلية سوف يواجه كلا من الفيل والريشة مقاومة للهواء. السؤال الأن: أي من الجسمين- الفيل أو الريشة- سوف يصل إلى الأرض أولا؟ معظم الناس لن يندهشوا من وصول الفيل للأرض أولا قبل الريشة. ولكن لماذا الفيل أسرع؟ الرد على هذا السؤال يكشف العديد من المغالطات وعدم الفهم وخلط الحقائق. الخلط يحدث من عدم فهم أو استيعاب معنى الوزن, قوة الجاذبية, التعجيل, مقاومة الهواء, سرعة السقوط القصوى.

الفيل والريشة يتم جذبهما لأسفل بواسطة قوة الجاذبية. عند بداية السقوط فإن قوة السقوط تكون غير متزنة. مع سقوط الجسمين يبدأن بالتسارع (اكتساب سرعة). مع اكتساب الجسمين سرعة, يواجه الجسمين قوة مقاومة الهواء لأعلى. حيث أن مقاومة الهواء تعتمد على سرعة سقوط الجسم ومساحة الجسم ومعامل الشكل لمقاومة الهواء وكثافة الهواء. بناء على مساحة الجسم فقط فإنه عند نفس السرعة فإن الفيل سوف يواجه مقاومة هواء أكبر من مقاومة الريشة.

ولكن لماذا الفيل الذي يواجه مقاومة هواء أكبر من الريشة يسقط أسرع؟ حيث أننا نعلم أن مقاومة الهواء تعمل على أبطاء سقوط الجسم لأسفل, والجسم ذو المقاومة الأكبر سيسقط أبطئ.

الإجابة على تلك التساؤلات يحتاج إلى فهم القانون الأول والثاني لنيوتن ومفهوم السرعة القصوى للسقوط. بناء على القانون الأول لنيوتن فإن الجسم سوف يحدث له تعجيل في حالة أن القوى المؤثرة عليه تكون غير متزنة. وأن مقدار التعجيل (التسارع) يتناسب طرديا مع مقدار محصلة القوى (القوى الغير متزنة) المؤثرة عليه. ولكن مع زيادة سرعة الجسم الساقط, فإنه يواجه زيادة في القوى المؤثرة لأعلى (قوة مقاومة الهواء). والحقيقة, أن الجسم سوف يستمر في التسارع (اكتساب سرعة) حتى تصل قيمة مقاومة الهواء لقيمة عالية كافية لتتزن مع قوة الجاذبية لأسفل (الوزن). وحيث أن الفيل له كتلة أكبر, فيكون وزنه أكبر ويتعرض لقوة جذب عالية لأسفل. وعليه فإن الفيل سوف يتسارع (تزداد سرعته) لمدة أطول من الوقت قبل تصبح قوة مقاومة الهواء لأعلى كافية لتتزن مع القوة الكبيرة للجذب لأسفل.

عندما تزيد قوة مقاومة الهواء لأعلى المؤثرة على الجسم بدرجة كافية لتتزن (تتعادل) مع قوة الجاذبية لأسفل, فإنه يقال أن الجسم وصل إلى السرعة القصوى للسقوط (حالة اتزان القوى). السرعة القصوى لسقوط الجسم هي السرعة الثابتة التي سيظل الجسم عليها حتى يصل إلى الأرض. في حالة الفيل والريشة, فإن الفيل سيكون له سرعة سقوط قصوى أعلى من الريشة. وكما ذكر من قبل, فإن الفيل ستظل سرعته بالزيادة لمدة أطول من الوقت. يحتاج الفيل إلى سرعة عالية ليحصل على قوة مقاومة الهواء لأعلى كافية لتتزن مع قوة الجاذبية لأسفل. والحقيقة فإن سرعة سقوط الفيل قد لا تصل إلى السرعة القصوى خلال السقوط (تعتمد على مسافة وزمن السقوط). ونظرا لخف وزن الريشة فإنها تصل في وقت قصير إلى السرعة القصوى, وسوف تستمر بها خلال سقوطها بعد ذلك حتى تصل إلى الأرض.

وتكون النتيجة النهائية أن الفيل سوف يصل أسرع من الريشة عند سقوطهما من نفس الارتفاع.

ولكن في حالة عدم وجود هواء (حالة افتراضية), فإن الريشة والفيل سيصلان الأرض في نفس الوقت.

http://www.physicsclassroom.com/mmedia/newtlaws/efar.cfm

الجزء الأول 1
الجزء الثاني 2
الجزء الثالث 3
الجزء الرابع 4